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寒假作业(数学)

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寒假作业(数学)

* 发表时间 : 2019年01月23日 * 浏览 : 500

数   学



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随着高一上学期期末考试的结束,愉快的寒假生活拉开了序幕。为了让同学们进入泰安实验中学养成的良好学习、作息习惯不会因为寒假的懒觉和拖沓而“一朝回到解放前”,也为了更好的适应高中生活,做好这个寒假的学习计划就势在必行了。在这里给同学们提出如下建议。
一、要对课本内容知识全面巩固复习。高一上学期是同学们适应紧张而充实的高中学习环境的开端,是初高中衔接、转化的关键时期。但是,很多同学往往在第一学期还不太会调控,导致功课或多或少都会有落下的地方,尤其对于部分期末考试成绩不理想的同学来讲,更要分析整个学期学习过程中的不足,要从学习习惯、学习能力、学习状态等不同角度出发,结合自身对基础考点知识的掌握程度,彻底认识自身存在的问题,这就需要利用寒假进行调整、提高和填补,可以说,寒假能否利用好,对未来三年的状态都会产生重要的影响。
二、要利用好寒假作业和寒假学习指导。学校按照各科的章节结构体系和学习特点,统一编制印发了寒假作业。寒假作业涉及到的内容覆盖面宽,能充分巩固学生对于基础知识的掌握,查缺补漏;学生要认真完成每一道习题,要深究每一道习题的考查意图,要理解每一习题的考查实质与维度,从不同角度出发,彻底掌握基础知识的应用,拓展内容应全面深化。
三、要对高一下学期教材内容进行预习,完成预习学案。在对教材基础内容进行全面识记、理解的基础上,根据寒假学习指导要求拓展视野,积累学习素材,并有针对性的做好笔记。
四、家长也要对学生做好全面督促,要求孩子对上学期的知识结构体系做全面复习,抓教材深化,加强拓展训练,督促孩子保质保量的完成寒假作业;做好第二学期课程内容的提前预习,增强孩子的学习意识。
附:高一寒假学习计划时间安排:
时间 内容 时间 内容
7:00 起床、 12:00—12:30 观看午间新闻,注意记录。
7:20—7:40 跑步锻炼 14:20—15:00 物理或政治学习
7:40—8:20 早饭、洗漱 15:20—16:00 历史或化学学习
8:20—9:00 语文、英语背诵 16:20—17:00 生物或地理学习
9:20—10:00 数学学习 19:00—19:30 观看晚新闻,注意记录。
10:20—11:00 语文学习 19:40—20:20 查缺补漏,梳理总结。
11:20—12:00 英语学习 20:40—21:20 课外阅读、电影视频观看


数学寒假学习指导

复习篇
1.教材为本,整体复习。
复习时以课本为主线,以复习参考题和每章的复习小结为突破口,并非简单地重复已学过的知识,而是对学过知识进行系统梳理,对某些知识点要进行归纳与对比,使所学过的知识由零散过渡到完整,构架起较为完整的知识系统,训练综合运用知识的能力。
2.善于运用导学案,梳理知识结构网络图,形成完整的知识结构体系。
可以利用导学案的知识机构图或知识要点归纳,来梳理本学期每章内容的知识结构图,并找到知识点对应的基础题,进行自我检测。紧紧抓住老师上课反复强调和题目中经常犯错的地方,努力感悟和突破。
3.看错题集,温故而知新。
寒假复习中,一定要拿出一定的时间重新去温习错题集,除复习语言知识点外,还要重视某些试题的解题方法与技巧。只有这样,才能充分发挥错题集的作用。这里要提醒的是,错题比较集中的单元,就是“梦开始的地方”,应作为重点复习单元之一。
4. 针对考点,专项练习
复习必修一、必修二(最重要的)共计9个专题。
练习中,做题要精,在老师的指导寒假作业下,从实际出发,进行各种形式、多层次的练习,练习要有步骤、有目的、有思考,切忌一味做题,陷入题海。

预习篇

根据寒假作业的导学案,预习必修二最后一章和必修四的第一章,完成预习学案6张。



寒假训练01    集合
典题温故
已知全集 ,集合 ,集合 ,且 ,求实数 的取值范围.
【答案】
【解析】 全集 ,集合 ,
所以 ,由于集合 , ,
①若 ,则 ,解得 .
②若 ,则 或 ,解得 或 ,
由①②可知,实数 的取值范围是 .
经典集训
一、选择题
1.已知集合 , ,则 (    )
A. B. C. D.
2.已知集合 , ,则 (    )
A. B. C. D.
3.设全集 , , ,则图中阴影部分表示的集合为(    )

A. B. C. D.
4.已知全集 ,函数 的定义域为 ,集合 ,则下列结论正确的是(    )
A. B. C. D.
5.已知集合 ,集合 ,则集合
等于(    )
A. B. C. D.
6.已知集合 ,且 ,则 (    )
A. B. 或 C.3 D.
7.已知 , ,若 ,则实数 的值为(    )
A.0或1或2 B.1或2 C.0 D.0或1
8.全集 ,集合 ,集合 ,则 (    )
A. B. C. D.
9.已知集合 , ,若 ,则实数 的值为(    )
A.1 B.2 C.1或2 D.4
10.已知 , ,若 ,则实数 的取值范围是(    )
A. B. C. D.
11.已知集合 , ,
则 (    )
A. , B. C. D.
12.若集合 ,集合 ,则 (    )
A. B. C. D.
二、填空题
13.若 , ,且 ,则 的取值范围是________
14.已知集合 , ,若   ,则实数 的值构成的集合是_______.
15.已知全集 , , , , ,则用列举法表示集合 ________.
16.已知非空集合 满足:若 ,则 .则当 时,集合 的所有元素之积为_______.
三、解答题
17.已知集合 , .
(1)求 ;
(2)若集合 , ,求实数 的取值范围.



18.已知集合 , , , .
(1) , ;
(2)若 ,求实数 的取值范围.










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寒假训练02    函数的概念与性质
典题温故
如图,定义在 上的函数 的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求 的值及 的解析式;
(2)若 ,求实数 的值.

【答案】(1) , ;(2) 或 .
【解析】(1)根据图象可知 ,∴ ,
设 ,因为过点 和点 ,代入可得: , ,即 ,
当 时, ,因为过点 , , 代入可得: ,
所以 .
(2) ,当 时, ,符合题意;
当 时,即 , (舍去),
故 , .

经典集训
一、选择题
1.函数 的定义域是(    )
A. B. C. D.
2.已知 ,那么 等于(    )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知 ,则 (    )
A.36 B.26 C.16 D.4
4.]函数 , (    )
A. B. C.2 D.8
5.若 对于任意实数 都有 ,则 =(    )
A.0 B.1 C. D.4
6.下列函数中,在其定义域内是减函数的是(    )
A. B. C. D.
7.已知函数 ,其中 是偶函数,且 ,
则 (    )
A. B.1 C. D.3
8.]函数 的值域为 ,则实数 的范围(    )
A. B. C. D.
9.函数 的图象大致为(    )
A. B.
C. D.
10.已知函数 满足对任意 ,都有 成立,则实数 的取值范围是(    )
A. B. C. D.
11.已知定义在 上函数 满足 ,且当 时, ,则 (    )
A. B. C. D.
12.已知定义在 上的函数 为偶函数.
记 , , ,则 , , 的大小关系为(    )
A. B. C. D.
二、填空题
13.函数 ,则该函数的定义域为_________,值域为__________.
14.己知函数 在定义域内为奇函数,则实数 _______.
15.已知 是奇函数,当 时, ;则当 时, ______.
16.已知 是定义在 上的偶函数,且在区间 上单调递増,
若实数 满足 ,则实数 的取值范围是___________.
三、解答题
17.设函数 .
(1)当 时,求 的单调区间;
(2)当 时,求不等式 的解集.
18.己知函数 , .
(1)试判断函数 在 上的单调性,并证明之;
(2)已知函数 ,试判断函数 在 上的奇偶性,并证明之.








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寒假训练03    指、幂函数

典题温故
[2018•银川一中]计算:(1) ;
(2)已知 ,求 的值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)原式= .
(2)由已知可得: .
,原式= .




一、选择题
经典集训
1.计算 (    )
A. B. C. D.
2.已知点 在幂函数 的图象上,则 的表达式为(    )
A. B. C. D.
3.函数 图象一定过点(    )
A. B. C. D.
4.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是(    )
A. B.
C. D.
5.设 , , ,则 , , 的大小关系为(    )
A. B. C. D.
6.化简 的值得(    )
A. B. C. D.8
7.函数 的图象为(    )
A. B.
C. D.
8.[函数 的单调递增区间为(    )
A. B. C. D.
9.]函数 在 上的最大值与最小值的和为3,则 (    )
A.2 B.3 C.4 D.8
10.已知函数 ,若其值域为 ,则 可能的取值范围是(    )
A. B. C. D.
11.在同一坐标系中,二次函数 与指数函数 的图象只可能是(    )
A. B.
C. D.
12.已知 , , ,则它们的大小关系是(    )
A. B. C. D.

二、填空题
13.函数 的定义域为_______.
14.函数 的值域为___________.
15.计算 ,所得结果为____________.
16.若幂函数 在 上为增函数,
则 ____________.
三、解答题
17.函数 是定义在 上的奇函数.
(1)确定函数 的解析式;
(2)用定义证明 的单调性;
(3)解不等式 .





18.已知函数 为常数),且 , .
(1)判断函数 在定义域上的奇偶性,并证明;
(2)对于任意的 , 恒成立,求实数 的取值范围.











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寒假训练04    对数函数
典题温故
已知函数 , .
(1)求 的定义域;
(2)判断 的奇偶性,并予以证明;
(3)当 时,求使 的 取值范围.
【答案】(1) ;(2) 奇函数;(3)见解析.
【解析】(1)使函数 有意义,则必有 ,解得 ,
所以函数 的定义域是 .
(2)函数 是奇函数, , ,

函数 是奇函数.
(3)使 ,即 ,
当 时,有 ,解得 的取值范围是 ,
当 时,有 ,解得 的取值范围是 .

经典集训
一、选择题
1.已知 且 ,则 (    )
A. B.1 C.2 D.0
2.已知函数 , 的图象过定点 ,则点
坐标为(    )
A. B. C. D.
3.  (    )
A.0 B.1 C.6 D.
4.设函数 ,则 (    )
A.3 B.6 C.9 D.12
5.函数 的定义域是(    )
A. B.
C. D.
6.设 , , ,则(    )
A. B. C. D.
7.函数 的单调增区间为(    )
A. B. C. D.
8.]若函数 在区间 上的最大值比最小值大1,
则实数 (    )
A. B. 或 C. 或 D.
9.已知定义在 上的奇函数 满足 ,当 时, ,则 (    )
A. B.8 C. D.
10.]当 时,在同一坐标系中,函数 与 的图象是(    )
A. B.
C. D.
11.设函数 ,则满足 的 的取值范围是(    )
A. B. C. D.
12.若函数 ,则 (    )
A. B. C.0 D.2
二、填空题
13.已知 , ,用 , 表示 ________.
14.函数 的定义域为_______.
15.不等式 的解集是___________.
16.]函数 在区间 上的值域为 ,则 的最小值为________.
三、解答题
17.求下列各式的值.
(1) ;
(2) ;
(3) .




18.已知函数 .
(1)若 定义域为 ,求 的取值范围;
(2)若 ,求 的单调区间;
(3)是否存在实数 ,使 的最小值为0?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
















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寒假训练05    函数应用
] 典题温故
已知函数 , ,
(1)若函数 在区间 上存在零点,求实数 的取值范围;
(2)当 时,若对任意 ,总存在 ,使 成立,求实数 的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 或 .
【解析】(1)∵ ,
∴函数 图象的对称轴为直线 ,要使 在 上有零点,其图象如图,

则 ,即 ,∴ .
所以所求实数 的取值范围是 .
(2)当 时, .
∴当 时, ,记 .
由题意知,当 时, 显然不适合题意.
当 时, 在 上是增函数,∴ ,
记 ,由题意,知 .∴ ,解得 .
当 时, 在 上是减函数,∴ ,
记 ,由题意,知 .∴ ,解得 .
综上所述: 或 .

经典集训
一、选择题
1.]函数 的零点所在的大致区间的(    )
A. B. C. D.
2.用二分法求函数 在区间 上的零点,要求精确度为 时,所需二分区间的次数最少为(    )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.某同学求函数 零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:








则方程 的近似解(精确度 )可取为(    )
A. B. C. D.
4.已知 ,并且 , 是方程 的两根,
实数 , , , 的大小关系可能是(    )
A. B.
C. D.
5.函数 的零点个数为(    )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 ,
则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(    )(参考数据: , , )
A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年
7.函数 在定义域内的零点可能落在下列哪个区间内(    )
A. B. C. D.
8.已知方程 有两个正根,则实数 的取值范围
是(    )
A. B. C. D.
9.若方程 的实根在区间 上,则 (    )
A. B.1 C. 或1 D.0
10.函数 有两个零点,则 的取值范围是(    )
A. B. C. D.
11.设方程 的两个根分别为 , ,则(    )
A. B. C. D.
12.设函数 ,其中 表示不超过 的最大整数,若函数 的图象与函数 的图象恰有3个交点,则实数 的取值范围是(    )
A. B. C. D.
二、填空题
13.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率 与加工时间 (单位:分钟)满足函数关系 ( , , 是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为________分钟.

14.已知函数 ,若存在实数 ,使函数 有两个零点,则实数 的取值范围是________.
15.  ,若 有三个不同的实数解,
则 的取值范围为________.
16.已知方程 和 的解分别为 , ,则 ____.
三、解答题
17.某工厂有一个容量为300吨的水塔,每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水,已知该厂生活用水为每小时10吨,工业用水量 (吨)与时间  (小时,且规定早上6时 )的函数关系为: .水塔的进水量分为10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在开始供水的同时打开进水管.
(1)若进水量选择为2级,试问:水塔中水的剩余量何时开始低于10吨?
(2)如何选择进水量,既能始终保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?




18.已知函数 .
(1)证明:函数 在其定义域上是增函数;
(2)证明:函数 有且只有一个零点;
(3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过 .











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寒假训练06    空间几何体
典题温故
图,三棱柱 内接于一个圆柱,且底面是正三角形,如果圆柱的体积是 ,底面直径与母线长相等.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)求三棱柱 的体积.

【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)设底面圆的直径为 ,由题可知 ,
∴ ,∴圆柱的侧面积 .
(2)因为 为正三角形,底面圆的半径为1,
∴可得边长 ,∴三棱柱 的体积 .


经典集训
一、选择题
1.已知球的表面积为 ,则该球的体积为(    )
A. B. C. D.
2.如图, 是 的直观图,其中 ,那么
是(    )

A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
3.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(    )
A. B. C. D.
4.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(    )

A.4 B. C. D.3
5.将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为(    )
A. B. C. D.
6.在长方体 中, , , , , 分别在线段 和 上, ,则三棱锥 体积的最小值为(    )
A.4 B. C. D.
7.已知正方体、等边圆柱(轴截面是正方形)、球的体积相等,它们的表面积分别为 , , ,则(    )
A. B. C. D.
二、填空题
8.各条棱长均为 的四面体的体积为____.
9.已知正三棱柱 的高为6, ,点 为棱 的中点,则四棱锥 的表面积是________.
10.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓,例如:将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵,将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开,得到一个阳马(底面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵 中, , , ,
则阳马 的外接球的表面积是________.

三、解答题
11.如图所示,半径为 的半圆内的阴影部分是以直径 所在直线为轴,旋转一周得到的一几何体,求该几何体的表面积和体积.(其中 )




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寒假训练07    点、线、面的位置关系

典题温故
[2018•吉安月考]四面体 如图所示,过棱 的中点 作平行于 , 的平面,分别交四面体的棱 , , 于点 , , .证明:四边形 是平行四边形.

【答案】见解析.
【解析】由题设知, 平面 ,又平面 平面 ,平面 平面 , , , .
同理 , , .
故四边形 是平行四边形.

经典集训
一、选择题
1.、设 , 是两条直线, , 是两个平面,若 , , ,则 内与 相交的直线与 的位置关系是(    )
A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面
2.如果直线 平面 , ,那么过点 且平行于 的直线(    )
A.只有一条,不在平面 内 B.有无数条,不一定在平面 内
C.只有一条,且在平面 内 D.有无数条,一定在平面 内
3.下列说法中正确的是(    )
A.平行于同一直线的两个平面平行 B.垂直于同一直线的两个平面平行
C.平行于同一平面的两条直线平行 D.垂直于同一直线的两条直线平行
4.已知平面 , ,下列命题错误的是(    )
A.若 ,则 内所有直线都垂直于
B.如果 不垂直于 ,那么 内不存在直线垂直于
C.若 ,则 内一定存在直线平行于
D.若 ,则经过 内一点与 垂直的直线在 内
5.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(    )
A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行
6.若三个平面两两相交,则它们的交线条数是(    )
A.1条 B.2条 C.3条 D.1条或3条
7.从空间一点 向二面角 的两个面 , 分别作垂线 , , , 为垂足,若 ,则二面角 的平面角的大小是(    )
A. B. C. 或 D.不确定
8.如图所示,在三棱锥 中, 、 、 、 分别是棱 、 、 、 的中点,则 与 的位置关系是(    )

A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面
9.下列说法中,正确的个数是(    )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;
②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;
③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;
④两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.
A.0 B.1 C.2 D.3
10.在正方体 中,若经过 的平面分别交 和 于点 , ,则四边形 的形状是(    )

A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形
11.正方体 中 为棱 的中点,求异面直线 与 所成角的余弦值(    )

A. B. C. D.
12.如图,在三棱锥 中, 底面 , ,则直线 与平面 所成角的大小为(    )

A. B. C. D.
二、填空题
13.经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________.
14.如图所示,已知三棱锥 的三个侧面与底面全等,且 , ,则二面角 的大小为________.

15.在正三棱柱 中,各棱长均相等, 与 的交点为 ,则 与平面 所成角的大小是________.
16.如图,四棱柱 的底面 是平行四边形,
且 , , , 分别是 的中点, ,若 ,则异面直线 与 所成角的余弦值为______.

三、解答题
17.如图所示,在空间四边形各边 , , , 上分别取 , , , 四点,如果 , 交于一点 ,求证:点 在直线 上.


18.已知:正方体 ,如图,

(1)若 、 为 、 的中点,画出过 、 、 的截面;
(2)若 、 、 为 、 、 上的点(均不与 重合),求证: 是锐角三角形.



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寒假训练08    平行、垂直关系的证明

典题温故
如图,在直三棱柱 中,已知 , ,设 的中点为 , .

求证:(1) 平面 ;    (2) .
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】(1)由题意知, 为 的中点,
又 为 的中点,因此 .
又因为 平面 , 平面 ,所以 平面 .
(2)因为棱柱 是直三棱柱,所以 平面 .
因为 平面 ,所以 .
又因为 , 平面 , 平面 , ,
所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 .
因为 ,所以矩形 是正方形,因此 .
因为 , 平面 , ,所以 平面 .
又因为 平面 ,所以 .

经典集训
一、选择题
1.已知互不重合的直线 , ,互不重合的平面 , ,给出下列四个命题,正确命题的个数是(    )
①若 , , ,则     ②若 , , ,则
③若 , , ,则    ④若 , ,则
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若 、 是两个不同的平面, 、 是两条不同的直线,则下列结论错误的是(    )
A.如果 , 那么, 与 所成的角和 与 所成的角相等
B.如果 , , 那么
C.如果 , ,那么
D.如果 , ,那么
3.下列四个正方体图形中, , , 为正方体所在棱的中点,则能得出平面 平面 的是(    )
A. B.
C. D.
4.如图所示,在正方体 中,若 是 的中点,则直线 垂直于(    )

A. B. C. D.
5.如图,在正方形 中, 、 分别是 、 的中点,现在沿 、 、 把这个正方形折成一个四面体,使 、 、 重合,重合后的点记为 .给出下列关系:

① 平面 ;② 平面 ;③ ;④ 平面 .其中成立的有(    )
A.①与② B.①与③ C.②与③ D.③与④
6.如图所示,在三棱锥 中,平面 平面 , , ,则(    )

A. 平面 B. 平面
C. 与平面 相交但不垂直 D. 平面
7.如下图,梯形 中, , , , ,将 沿对角线 折起.设折起后点 的位置为 ,并且平面 平面 .给出下面四个命题:
① ;②三棱锥 的体积为 ;③ 平面 ;
④平面 平面 .其中正确命题的序号是(    )

A.①② B.③④ C.①③ D.②④
8。如图,正方体的棱长为1,线段 上有两个动点 , ,
且 ;则下列结论错误的是(    )

A. B.
C.三棱锥 的体积为定值 D. 的面积与 的面积相等
9.如图, 矩形 ,下列结论中不正确的是(    )

A. B. C. D.
10.如图,已知四边形 是正方形, , , , 都是等边三角形, 、 、 、 分别是线段 、 、 、 的中点,分别以 、 、 、 为折痕将四个等边三角形折起,使得 、 、 、 四点重合于一点 ,得到一个四棱锥.对于下面四个结论:
① 与 为异面直线;②直线 与直线 所成的角为 ;
③ 平面 ;④平面 平面 .
其中正确结论的个数有(    )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
11.某正方体的平面展开图如图所示,则在这个正方体中(    )

A. 与 相交 B. 与 平行
C. 与 平行 D. 与 异面
12.如图, 所在的平面, 是 的直径, 是 上的一点, 于 , ,给出下列结论:① 平面 ;② 平面 ;③ ;④ 平面 .其中正确命题的个数是(    )

A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
13.已知 , 是两条不重合的直线, , , 是三个两两不重合的平面给出下列四个命题:
(1)若 , ,则  (2)若 , ,则
(3)若 , , ,则 ( 4)若 , ,则
其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)
14.如图,直三棱柱 中, , , , , 为线段 上的一动点,则当 最小时, 的面积为_______.

15. , 是两个平面, , 是两条直线,有下列四个命题:
①如果 , , , ,那么 ;
②如果 , ,那么 ;
③如果 , ,那么 ;
④如果 , ,那么 与 所成的角和 与 所成的角相等.
其中正确的命题有_________.(填写所有正确命题的编号)
16.正方体 中, , , 分别是棱 , , 的中点,点 在对角线 上,给出以下命题:
①当 在线段 上运动时,恒有 平面 ;
②当 在线段 上运动时,恒有 平面 ;
③过点 且与直线 和 所成的角都为 的直线有且只有3条.
其中正确命题为________.
三、解答题
17.如图,在四棱锥 中,底面 是正方形, , , , 分别为 , 的中点.
(1)证明:直线 ;
(2)求三棱锥 的体积.







18.如图,三棱柱 , 底面 ,且 为正三角形, , 为 中点.

(1)求三棱锥 的体积;
(2)求证:平面 平面 ;
(3)求证:直线 平面 .












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寒假训练09    直线与方程
典题温故
已知直线 .
(1)求过点 且与直线 垂直的直线的方程;
(2)若直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4,求实数 的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)与直线 垂直的直线的斜率为 ,
因为点 在该直线上,所以所求直线方程为 ,
故所求的直线方程为 .
(2)直线 与两坐标轴的交点分别为 , ,
则所围成的三角形的面积为 .
由题意可知 ,化简得 ,
解得 或 ,所以实数 的取值范围是 .
经典集训
一、选择题
1.已知点 , ,则直线 的倾斜角是(    )
A. B. C. D.
2.已知 ,若直线 与直线 平行,则 的值为(    )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.直线 在两坐标轴上截距之和为2,则 为(    )
A.24 B.12 C.10 D.
4.直线 与直线 垂直,则实数 的值为(    )
A. B. C. D.
5.直线 过点 ,且 , 到 的距离相等,则直线 的方程是(    )
A. B.
C. 或 D. 或
6.直线 经过定点 ,则点 为(    )
A. B. C. D.
7.如下图,在同一直角坐标系中表示直线 与 ,正确的是(    )
A. B.
C. D.
8.斜率 的变化范围是 ,则其倾斜角的变化范围是(    )
A. B. C. D.
9.已知点 , ,则线段 的垂直平分线的方程是(    )
A. B. C. D.
10.若动点 , 分别在直线 , 上移动,则 的中点 到原点的距离的最小值是(    )
A. B. C. D.
11数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称为欧拉线,已知 的顶点 , ,若其欧拉线方程为 ,则顶点 的坐标为(    )
A. B. C. 或 D.
12.如图, 、 、 是同一平面内的三条平行直线, 与 间的距离是1, 与 间的距离是2,正三角形 的三顶点分别在 、 、 上,则 的边长是(    )

A. B. C. D.
二、填空题
13.已知过点 的直线 倾斜角为 ,则直线 的方程为_________.
14.与两平行直线 , 等距离的直线方程为_____________.
15.已知直线 的斜率为1,与两坐标轴围成三角形的面积为4,则直线 的方程为________.
16.在平面直角坐标系中,已知 , ,若过点 的直线 与线段 有公共点,则直线 斜率的取值范围是____________.
三、解答题
17. 1)求两条平行直线 与 间的距离;
(2)求两条垂直的直线 和 的交点坐标.







18.已知 的顶点 , 边上的中线所在直线方程为 , 的平分线所在直线方程为 ,求 边所在直线的方程.












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另外完成预习学案6张